喪中はがきというと、自分が喪中であることや、不幸があったことを知らせる訃報の連絡というイメージがありますが、正式には「年賀欠礼状」と言い「喪中のため、今年は新年のお喜びをお伝えできませんので、失礼いたします」という趣旨の挨拶状のことです。

いつ出せばいいの？

喪中はがきは、先方が年賀状の用意を始める前に送るのがマナーです。ですので、11月中か遅くとも12月初旬頃までには届くように出しましょう。
12月中旬以降に近親者が亡くなった場合は、先方もすでに年賀状を用意している上に師走で忙しい中、お互いに大変。喪中であることを知らずに、年賀状を送ってくださった方には、年が明けてから「寒中見舞い」として、お知らせするという方法がいいかと思います。

喪中はがきに転居のお知らせを書いてもいい？

喪中はがきと転居通知の葉書は、それぞれ別のものですので一般的には別々に出したほうがいいでしょう。
ただ、時期的にどうしても別々に出すのが難しい場合には、喪中はがきに一言書き添える程度であればいいかと思います。それでも喪中はがきの趣旨とは違いますので、あまり長々と書かずに簡潔に1行程度におさえた方がいいと思います。

喪中はがきの後にいただいた「お供え」へのお返しは？

現金でもらった場合と同様にお返しをしたほうが丁寧です。その場合は、いただいた品物の半額程度（半返し）の品物に「志」のかけ紙をつけて用意するのが一般的です。
香典返し同様に、「仏事は残さない」という思いから、お茶や菓子、タオルなどの日常品を選ぶ方が多いようです。また、直接、渡せないときにはお礼状をつけて送るようにしましょう。
ただし、いただいたお供え物の金額によっては、半返しが難しいこともありますし、かえって相手の負担になることもありますので、お返しの品は贈らずにお礼状だけでも良いかと思います。